A álgebra de Boole é um
sistema matemático que usa das propriedades essenciais dos operadores lógicos e
forma uma estrutura que lida com as afirmações das operações. É formada por
operadores, teoremas, regras e postulados. A álgebra Booleana possui variáveis
que podem assumir os valores lógicos zero (0, associado ao Falso), e o um (1, associado
ao verdadeiro).
OPERADORES LÓGICOS
· E (AND) usa o operador
"."
· OU (OR) usa o operador
"+"
· NEGAÇÃO (NOT) usa o
operador "-"
Leis:
1) Elementos de identidade
· A . 0 = 0
· A . 1 = 1
· A + 0 = A
· A + 1 = 1
2) associativa
· (A + B) + C = A + (B + C)
3) comutativa
· A . B = B . A
4) Idempotentes
· A . A = A
5) distributiva
· A . (B + C) = (A . B) + (A
. C)
6) absorção
· A . (A + B) = A
7) De Morgan
· ~( A . B ) = ~A + ~B
· ~(A + B) = ~A . ~B
8) complementares
· A . ~A = 0
· A + ~A = 1
Demonstrações
Y
= A . (A + B)
Y
= A
|
Y
= A . A
Y
= A
|
Y
= A + 1
Y = 1
|
Y = A . (B + C)
Y =
(A . B) + (A . C)
|
Y= A . 1
Y = 1
|
Tabela
7
Figura 3
Exercícios:
APLICAÇÕES
LÓGICA EM BANCO DE DADOS
O
impacto da lógica nos bancos de dados é um dos melhores exemplos da efetividade
da mesma sobre a ciência da computação. A lógica de primeira ordem 4 reside no
núcleo dos bancos de dados atuais, sendo utilizada desde as linguagens mais
básicas como SQL até algumas mais complexas onde são utilizadas extensões da
lógica de primeira ordem junto com a recursão. Há três motivos principais para
sua utilização:
1) - A lógica de primeira ordem possui variáveis
sintáticas de fácil utilização.
2) - Pode ser implementada usando relações algébricas, o
que representa uma vantagem crucial quando tratamos de uma grande quantidade de
dados.
3) - Suas buscas podem demorar tempos constantes para
qualquer tamanho do banco de dados se houver paralelismo suficiente.
Uma busca que pode ser expressa em uma lógica de primeira
ordem pode ser aberta em uma série de buscas menores, formando assim blocos
fundamentais que podem ser usados na busca. Porém está abordagem não é
satisfatória, pois pode ser muito lenta com o aumento do banco de dados. A
abordagem utilizada na prática envolve relações algébricas. Em resumo, a lógica
de primeira ordem e a relação algébrica expressam a mesma busca.
TEORIA DOS TIPOS NAS
LINGUAGENS DE PROGRAMAÇÃO
Nas décadas de 80 e 90, o estudo das linguagens de
programação foi revolucionado por uma confluência de idéias da lógica
matemática e filosófica e da teoria da computação: a Teoria dos Tipos.
A Teoria dos Tipos, aplicada a um sistema de tipos, impõe
restrições aos programas, prevenindo que ocorram vários erros, decorridos de
falhas na interpretação dos valores, como, por exemplo, aplicar uma função a um
número inteiro utilizando valores lógicos.
Um sistema de tipo é definido da seguinte forma: Γ╟ e :
τ, onde e é uma expressão, τ é seu tipo e Γ representa tipos das variáveis
globais que podem ocorrer em e.
Segundo o princípio das “proposições como tipos” há um
isomorfismo entre proposições e tipos, com a propriedade que a dedução natural
prova que uma proposição corresponde aos elementos de seu tipo associado. Esse
princípio se estende aos conetivos lógicos e quantificadores, incluindo os de
segunda ordem ou de ordem maior.
Organizar linguagens de programação por estrutura de
tipos possui vários benefícios, como evitar confusões de conceitos distintos,
ocorrência de erros de interpretação, e aperfeiçoar a eficiência e a
integridade do compilador.
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